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初中数学完全平方公式知识点归纳

完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点,今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。

完全平方公式

完全平方公式:

两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。

a+b2=a^2+2ab+b^2

a-b2=a^2-2ab+b^2

1)公式中的ab可以是单项式,也就可以是多项式。

2)不能直接应用公式的,要善于转化变形,运用公式。

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础,是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。

结构特征:

1.左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上或减去这两项乘积的2倍;

2.左边两项符号相同时,右边各项全用“+”号连接;

左边两项符号相反时,右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注:这里说项时未包括其符号在内);

3..公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等数学式.

记忆口诀:首平方,尾平方,2倍首尾。

使用误解:

①漏下了一次项;

②混淆公式;

③运算结果中符号错误;

④变式应用难于掌握。

注意事项:

1、左边是一个二项式的完全平方。

2、右边是二项平方和,加上(或减去)这两项乘积的二倍,ab可以是数,单项式,多项式。

3、不论是还是,最后一项都是加号,不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

完全平方公式例题解析:

(一)、变符号

例:运用完全平方公式计算:

1(-4x+3y)2

2(-a-b)2

分析:本例改变了公式中ab的符号,以第二小题为例,处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a,将(-b)看成原来公式中的b,即可直接套用公式计算。

解答:

(1)16x2-24xy+9y2

(2)a2+2ab+b2

(二)、变项数:

例:计算:(3a+2b+c)2

分析:完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘,而本例中出现了三项,故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项,从而化解矛盾。所以在运用公式时,(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2,直接套用公式计算。

解答:9a2+12ab+6ac+4b2+4bc+c2

(三)、变结构

例:运用公式计算:

1(x+y)(2x+2y)

2(a+b)(-a-b)

3(a-b)(b-a)

分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式,表面看外观结构不符合公式特征,但仔细观察易发现,只要将其中一个因式作适当变形就可以了,即

1)(x+y(2x+2y)=2(x+y)^2

2(a+b)(-a-b)=-(a+b)^2

3(a-b)(b-a)=-a-b^2

完全平方公式练习题

一:填空题

1、因式分解: 9x2-1=_________________, 4x2-4x+1=_________________. 

a4-b4=_________________, an+2-an=____________________

2、多项式x^2+mx+36是一个完全平方式,则m=_____________.

3、多项式x2+ax+b可以因式分解成(x-1)(x+3)则a=_______, b=______.

4、如果x=3时,多项式x3-4x2-9x+m的值为0,则m=_________,多项式因式分解的结果为_______________________.

二:选择题

1、下列从左到右的变形,属于因式分解的是( )

(A)(a+3)(a-3)=a2-9

(B)4a2+4a+3=(2a+1)2+2  

(C)x2-1=(x+1)(x-1)

(D)-2m(m2-3m+1)=-2m3+6m2-2m 

2、下列各式,能用完全平方因式分解的多项式的个数为( )

①-a2-b2+2ab ②a2-ab+b2 ③a2-a+14 ④4a2+4a-1

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

3、用因式分解多项式3xy+6y2-x-2y时,分解正确的个数( )

①3xy+6y2-x-2y =(3xy-x)+(6y2-2y) 

②3xy+6y2-x-2y=(3xy+6y2)-(x+2y) 

③3xy+6y2-x-2y=(3xy-2y)+(6y2-x)

(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

4.下列多项式中何者含有2x+3的因式( )

(A)2x3+3 (B)4x2-9 (C)6x2-11x+3 (D)2x2+x+3  

5.下列何者是2x2-11x-21的因式?()

(A)(x-6) (B)(x+7) (C)(2x-3) (D)(2x+3)

6.下列何者为甲×丙+乙×丙的因式 ()

(A)甲+乙×丙 (B)甲+乙 (C)甲+丙 (D)丙+乙。

7.下列各式中,何者不是x2-4的因式? ()

(A)x+2 (B)x-2 (C)x2-4 (D)x2。

8.a2-b2的因式不可能是下列那一个?()

 (A)a2+b2 (B)a+b (C)a-b (D)a2-b2。

9.下列何者错误?()

(A)(-a+b)2=a2-2ab+b2 (B)(a-b)(a+b)=a2-b2

(C)(a-b)2=a2-2ab-b2 (D)(4+3)2=42+8×3+32。

10.下列各式中,何者是2x2-11x-21的因式?()

(A)2x-3 (B)x+7 (C)x-7 (D)2x+7。

11.下列何者为2x2+3x+1与4x2-4x-3的公因式?()

(A)x+1 (B)x+2 (C)2x-3 (D)2x+1。

12.因式分解(a+2)2-3(a+2)=()

(A)(a+2)(a-3) (B)(a+2)(a+3) (C)(a+2)(a+1) (D)(a+2)(a-1)。

13.下列何者正确?()

(A)a2-b2=(a-b)2

(B)a2-2ab+b2=(a+b)(a-b)

(C)a2+2ab+b2=(a+b)2

(D)a2+b2=(a+b)(a-b)。

14.因式分解9x2-1= ()

(A)(9x+1)(9x-1)

(B)(3x-1)2

(C)(3x+1)(3x-1)

(D)(9x-1)2

15.若5x2-7x-6=(5x+a)(x+b),则 下列正确的是

(A)a=-3 (B)b=-2 (C)ab=6 (D)a+b=5。  ( )

16.x2+mx+n=(x+a)(x+b),若m<0,n>0,则()

(A)a>0,b>0 (B)a<0,b<0 (C)a>0,b<0 (D)a<0,b>0。

17.找出下列何者是15x2+x-2的因式?()

(A)5x-2 (B)15x+2 (C)3x-1 (D)3x+1。

18.下列何者是(x-4)(x-5)-42的因式?()

(A)x-2 (B)x+11 (C)x-11 (D)x+3。

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