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勾股定理及勾股定理的逆定理

勾股定理:重点是准确掌握勾股定理,难点是能熟练地运用勾股定理.

知识点精析与应用

1.勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a²+b²=c².

(1)注意:由于直角三角形斜边最长,故运用勾股定理时,一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和.不能写成a²+c²=b²,除非b为斜边才能这样写.

(2)定理的作用:勾股定理揭示了直角三角形的三边关系.其作用有:①已知两边求第三边;②证明三角形中的某些线段的平方关系;③作长为根号n的线段.

2.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多,课本里是用面积法证明的,这种证明方法同学们一定要掌握好.

[解题方法指导]

1.运用勾股定理进行计算

[例1]如图1-327,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=6,求①△ABC的面积;②AB边上的高CD.


勾股定理


分析:已知条件中,∠A=30°,因此可运用直角三角能中30°角所对的边等于斜边的一半的性质,求得BC边的长,再运用勾股定理求得AC的长,从而DB得到△ABC的面积,再运用面积相等求得CD的长.

解:在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=6,∴BC=½AB=3(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).


勾股定理


2.运用勾股定理证明线段的平方关系

[例2]如图1-328,AC⊥BD,AC与BD交于O,求证:AB²+CD²=BC²+AD².

分析:本题有垂直关系,可得到多个直角三角形,要证明的是线段的平方关系,常考虑勾股定理.


勾股定理


说明:(1)本题若将AB、CD先归于同一直角三角形中,再运用勾股定理,显然难以入手,远不如充分运用现有的直角三角形来得方便.

(2)本题可叙述为“对角线互相垂直的四边形两组对边的平方和相等”.


勾股定理


[例3]如图1-329,在△ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点.求证:AP²=AB²-PB·PC.分析:待证的等式中有AP²、AB²,故要构造直角三角形,过点A作AD⊥BC,将AP、AB放在直角三角形中.


勾股定理


说明:本题已知图形中,不含有直角三角形,需要添加辅助线,构造出直角三角形,再运用勾股定理证明等式.(常用辅助线:作三角形的高)

勾股定理的逆定理:本节重点是勾股定理的逆定理,难点是用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形。

知识点精析与应用

1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形.

(1)作用:判定某一三角形是否为直角三角形.

(2)勾股定理的逆定理不能叙述为:当斜边的平方等于两条直角边平方的和时,这个三角形为直角三角形,这样叙述在判定前就已经把待判定的三角形当作了直角三角形.

(3)勾股定理的逆定理是把数转为形,是通过计算判定一个三角形是否为直角三角形.

(4)记住经常使用的勾股数:3,4,5;8,6,10;15,8,17;24,10,26;....

2.运用勾股定理逆定理的步骤

(1)首先确定最大边(如c).

(2)验证a²+b²与c²是否具有相等关系:

①若a²+b²=c²,则△ABC是以∠C=90"的直角三角形;

②若a²+b²≠c²,则△ABC不是直角三角形。

[解题方法指导]


勾股定理


说明:(1)判定一个三角形是否是直角三角形,首先要确定最大边,再看最大边的平方是否是另两边的平方和,如长为3、4、5的三角形,5是最大边,而3²+4²=5²,故它是直角三角形,但3²+5²≠4²,4²+5²≠3²,就不能说,∵3²+5²≠4²,∴它不是直角三角形.

(2)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据.


勾股定理


[例2]已知:如图1-344,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且BC=4EC,求证:∠EFA=90°.

分析:要证∠EFA=90°,一种思路是证∠AFD与∠EFC互余,这种方法现在无法实现,另一种思路是将∠EFA放在某一三角形内,运用勾股定理证明∠EFA的对边的平方等于∠EFA两邻边的平方和.

证明:连结AE.设正方形的边长为4a,则EC=a,BE=3a,CF=DF=2a.

在Rt△ABE中,由勾股定理得:AE²=AB²+BE²=(4a)²+(3a)²=25a².

在Rt△ADF中,由勾股定理得:AF²=AD²+DF²=(4a)²+(2a)²=20a².

在Rt△ECF中,由勾股定理得:EF²=EC²+FC²=a²+(2a)²=5a².

在△AEF中,AF²+EF²=20a²+5a²=25a².

∵AE²=25²,∴AF²+EF²=AE².

由勾股定理的逆定理可知:△AEF为直角三角形,且AE为最大边.∴∠AFE=90°.

说明:(1)本题在△ABE、△ADF、△ECF中分别计算AE²、AF²、EF²的值运用的是勾股定理,而在△AEF中,利用AF²+EF²=AE²米判断△AEF是直角三角形,则是勾股定理的逆定理的应用,同学们要会区分;

(2)为了简化计算,无论是应用勾股定理还是其逆定理,都不必求出线段长,只要求出线段的平方即可.

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