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等腰三角形的判定

极客数学帮老师提醒:本节重点是等腰三角形的判定定理及其推论,难点是运用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.

知识点精析与应用

1、等腰三角形的判定定理

如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

(1)该定理的作用:是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.

(2)注意:该定理不能叙述为:如果一个三角形有两个底角相等,那么它的两腰也相等。因为在没有判定出它是等腰三角形以前,不能用“底角”,“腰”这些名词,只有等腰三角形才有“底角”、“腰”.

(3)等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

2.等腰三角形判定定理的推论

推论1三个角都相等的三角形是等边三角形.

推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

推论3在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

说明(1)推论1和推论2是等边三角形的判定定理,其中推论2中的60°角可以是顶角,也可以是底角.

(2)推论3是由等边三角形的性质推出的关于直角三角形的一个性质,它反映了直角三角形中边与角之间的关系.注意:①推论3的大前提是:“在直角三角形中”.在证题时,如果只知道一个三角形有一个角为30°,那么说这个角的对边等于邻边的一半就是错误的.②推论3是证明直角三角形中一边等于另一边(斜边)的一半的重要方法之一.通常用于证明边的倍分关系.

3.等边三角形的判定方法

(1)运用定义:三条边相等.

(2)三个角相等.

(3)有一个角是60°的等腰三角形.

[解题方法指导]

[例1]如图1-260,AB=AD,∠ABC=∠ADC.求证:BC=DC.


等腰三角形的判定


分析要证BC=DC,由于BC、DC在同一三角形中,故可以证∠BDC与∠DBC相等,运用等角对等边即可,另一思考方法是将BC、CD放在两个不同的三角形中,如连结AC,证△ABC≌△ADC,但这一方法行不通.

证明:连结BD.

在△ABD中,∵AB=AD(已知),∴∠ADB=∠ABD(等边对等角).∵∠ADC=∠ABC(已知),∴∠ADC-∠ADB=∠ABC-∠ABD.

即∠BDC=∠DBC.∴BC=DC(等角对等边).

说明(1)本题运用了等腰三角形的性质和判定,为证明同一个三角形的两角相等和两边相等提供了捷径.在今后解题时要灵活掌握.

(2)辅助线BD的作用是构造等腰△ABD及进一步证明△BCD为等腰三角形.

(3)等边对等角、等角对等边是指同一个三角形的边角关系.

(4)本题容易出现下面的证明错误,请同学们仔细推敲,找出错误之处.

证明连结AC.

∵AB=AD(已知),∠ABC=∠ADC(已知),AC=AC(公共边),∴△ABC≌△ADC.∴BC=DC.

[例2]如图1-261,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC中点,DE⊥AB于E.求证:EB=3EA.


等腰三角形的判定


分析:要证EB=3EA,注意到∠BAC=120°,AB=AC,得∠B=30°.

再证AD⊥BC,得AD=½AB,

若能证得AE=½AD就可得到AB=4AE.从而可证EB=3EA.因此,证出Rt△AED中,∠1=30°即可.

证明∵AB=AC,∠BAC=120°(已知),∴∠B=∠C=30°(等边对等角).

又∵D是BC中点,∴AD⊥BC(三线合一).

∴∠2=60°(直角三角形两锐角互余).

又∵DE⊥AB,∴∠1=30°(直角三角形两锐角互余).

在Rt△ABD中,∠B=30°,∴AD=½AB.

在Rt△AED中,∠1=30°,∴AE=½AD.

∴AE=¼AB,∴BE=¾AB.∴EB=3EA.

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