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等腰三角形的性质

极客数学帮老师提醒:本节重点是等腰三角形的判定定理及其推论,难点是如何灵活运用等腰三角形的判定定理及其推论,其中等边三角形的性质是本节应掌握的知识点.

1.等腰三角形的性质定理

等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).

(1)作用:证明角相等.

(2)注意:“等边对等角”是指同一三角形中的边角关系.

(3)证明:课本中通过作项角的平分线,运用“SAS"证明,下面给出其他证明,请注意辅助线的添加及证明的思考过程.

已知:△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C.


等腰三角形的性质


证法1作△ABC的中线AD.(如图1-230)

在△ABD和△ACD中,AB=AC(已知),AD=AD(公共边),BD=CD(中点定义).

∴△ABD≌△ACD(sss).∴∠B=∠C.

证法2(运用RtA的全等判定方法)

作BC边上的高AD,则∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中,AB=AC(已知),AD=AD(公共).∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴∠B=∠C.

归纳上面三种(包括课本一种)证法,在等腰三角形中,添辅助线时,可作顶角的平分线,底边上的高,底边上的中线,构成图1-230的基本图形,运用全等三角形证明∠B=∠C,但下列添加辅助线的叙述是错误的:

(1)在△ABC中,作∠A的平分线,使AD⊥.BC;

(2)过BC的中点D,作AD⊥BC.

出现这类错误的原因是限制条件太多,无法作图.虽然在等腰三角形中,作顶角的平分线一定垂直于底边,但这是根据等腰三角形的性质推证出来的,不是通过作图直接作出来的.

证法3(运用面积相等),如图1-231,D为BC的中点,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC

于F,连结AD.


等腰三角形的性质


∵D为BC的中点,∴△ABD与△ADC的面积相等,∴AB·DE=AC·DF.∵AB=AC,∴DE=DF.在Rt△BED和Rt△CFD中BD=CD,DE=DF,R△BED≌Rt△CFD.

∴∠B=∠C(HL).

2.等腰三角形的性质定理的推论

推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.

即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,这个性质称为等腰三角形的三线合一性质.

推论2等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.

3.定理及推论的推理格式(图1-232)


等腰三角形的性质


(1)∵AB=AC,.∴∠B=∠C.

(2)∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,∴AD⊥BC,BD=CD.

(3)∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD,BD=CD.

(4)∵AB=AC,BD=CD,∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC.

从上面推理中可看出,等腰三角形性质定理及推论的作用是:证明角相等、线段相等.

解题方法指导

1.与等腰三角形有关的计算

[例1]已知:等腰△ABC的周长为50cm,AD是底边上的高,△ABD的周长为40cm,求AD的长.

分析:由于AD是已知等腰三角形底边上的高,因而也是底边上的中线,所以BD=CD.故可设AB=AC=xcm,BD=CD=ycm,AD=zcm,则可根据条件列出方程求出z.

解:因为AB=AC,AD⊥BC,所以BD=DC.

设AB=AC=xcm,BD=DC=ycm,AD=zcm.

依题意,得2x+2y=50,x+y+z=40.

解得z=15.即AD长为15cm.

[例2]如图1-233,P、Q是OABC边Bc上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.


等腰三角形的性质


分析:由已知△APQ为等边三角形,故可求得它的外角的度数,又由等腰三角形的性质求得底角的度数.

解:∵PA=PQ=AQ(已知),∴∠APQ=∠PQA=∠QAP=60°(等边三能三个角都为60°).∵PA=PB,∴∠B=∠PAB(等边对等角).

又∠B+∠PAB=60°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和).

∴∠PBA=∠PAB=30°.同理∠QAC=30°.

∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°.

说明(1)几何计算的目的通常是找量与量的关系,等腰三角形的两底角相等,等边三角形三内角均为60°,等腰三角形三线合一的性质等都是建立量与量的关系的依据.

(2)几何计算通常用列方程(组)来解决.

2.与等腰三角形有关的证明

[例3]如图1-234,在△ABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,∠AEF=∠AFE.求证:EF⊥BC.


等腰三角形的性质


分析:要证EF⊥BC,图中EF、BC没有联系,如果能找到一条直线与BC垂直或与BC平行,而与EF平行或与EF垂直,那么命题得证.

证法1作BC边上的高AD,D为垂足.

∵AB=AC,AD⊥BC,

∴∠BAD=∠CAD.(三线合一性质)

又∵∠BAC为△AEF的一个外角,

∴∠BAC=∠E+∠AFE.∵∠AEF=∠AFE,∴∠BAD+∠DAC=∠AEF+∠AFE.

∴∠CAD=∠E.

∴AD∥EF.∵AD⊥BC,∴EF⊥BC.

证法2过A作AG⊥EF于G.(如图1-235)


等腰三角形的性质


∵∠AEF=∠AFE,AG=AG,∠AGE=∠AGF=90°,∴AGE≌△AGF.

∴∠GAE=∠GAF.

∵AB=AC,∴∠B=∠C.

又∠EAF=∠B+∠C,∴∠EAG+∠GAF=∠B+∠C.∴∠EAG=∠C.∴AG∥BC.

∵AG⊥EF,∴EF⊥BC.

说明(1)在同一三角形中,有边相等,要联想到角相等.(2)要牢牢记住等腰三角形中的一条重要辅助线:顶角的平分线(或底边上的高、底边上的线).(3)本题提供了证明垂直的思考方法:若a∥b,a⊥c,则b⊥c.

证法3过E作EH∥BC交BA的延长线于H.(图1-236)


等腰三角形的性质


∵AB=AC,∠B=∠C,易知∠H=∠AEH.∵∠AEF=∠AFE.

又∠H+∠AFE+∠FEH=180°.

即∠H+∠AEH+∠AEF+∠AFE=180°,

∴∠AEF+∠AEH=90°.

即∠FEH=90°.

∵BC∥EH(已作);EF⊥EH,∴EF⊥BC.

证法4延长EF交BC于K(图1-237),


等腰三角形的性质


∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∴∠B=½(180°-∠BAC).

∵∠AEF=∠AFE,∴∠AFE=½(180°-∠EAF).

∵∠BFK=∠AFE,∴∠BFK=½(180°-∠EAF),

∴∠B+∠BFK=½(180°-∠BAC)+½(180°-∠EAF)

=½[360°-(∠EAF+∠BAC)].

∵∠EAF+∠BAC=180°,∵∠B+∠BFK=90°.

∴∠FKB=90°.∴EF⊥BC.

说明:证法3、4提供了证明垂直的另一重要思路:要证垂直,就是要证它们的夹角为90°,可以通过计算求出两直线的夹角为90°.

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