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八年级数学题专题讲解之换元法

八年级数学题中常常遇到因式分解问题,在因式分解中,常常会使用换元法来解决问题。今天极客数学帮就来讲讲有关于换元法的知识点,帮助同学们更好的解决八年级数学题。

换元法

解一些复杂的因式分解问题,常用到换元法,即对结构比较复杂的多项式,若把其中某些部分看成一个整体,用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化,明朗化,在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。

【例】有26块砖,兄弟2人争着去挑,弟弟抢在前面,刚摆好砖,哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多,就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行,又从哥哥那里拿来一半。哥哥不让,弟弟只好给哥哥5块,这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块?

【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道:哥哥挑“(26+2)÷2=14”块,弟弟挑“26-14=12”块。

解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4220,先变形为设2tt>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√1-X^2的值域时,若x[-11],设xsinα,sinα∈[-11],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量xy适合条件xyrr>0)时,则可作三角代换xrcosθ、yrsinθ化为三角问题。

均值换元,如遇到xyS形式时,设x=+ty=-t等等。

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。

提示:解还原问题所作的相应的“逆运算”是指:加法用减法还原,减法用加法还原,乘法用除法还原,除法用乘法还原,并且原来是加()几,还原时应为减()几,原来是乘()以几,还原时应为除()以几。

对于一些比较复杂的还原问题,要学会列表,借助表格倒推,既能理清数量关系,又便于验算。

练习题

三角换元

1、求证:-1/2x√(1-x^2)≤1/2

2、已知x0y02x+y=1,求证:(1/x+1/y)≥3+22

3、若x^2+y^21,求证:∣x^2+2xy-y^2∣≤√2

4、若x1,y1,求证:√xy1+[(x-1)(y-1)]

5、已知:a1,b0,a-b=1,求证:01/a[(a)-1/a]*[(b)+1/b]1

二、代数换元

证明:若a0,则√[(a^2)+1/a^2]-2≥√a+(1/a)-2

以上就是极客数学帮整理的八年级数学题专题讲解之换元法的全部内容了。

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